Натуральные числа определение до какой цифры. Ненатуральные числа. Как отличить натуральные от ненатуральных

Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое - элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика - из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?

Начало начал

Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе - только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.

В древности числам придавалось мистическое значение, Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями - огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.

Что такое в математике? Аксиомы Пеано

Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных,

Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.

Единица считается натуральным числом.
Число, которое идет за натуральным числом, является натуральным.
Перед единицей нет никакого натурального числа.
Если число b следует как за числом c, так и за числом d, то c=d.
Аксиома индукции, которая в свою очередь показывает, что такое натуральное число: если некоторое утверждение, которое зависит от параметра, верно для числа 1, то положим, что оно работает и для числа n из поля натуральных чисел N. Тогда утверждение верно и для n=1 из поля натуральных чисел N.

Основные операции для поля натуральных чисел

Так как поле N стало первым для математических расчетов, то именно к нему относятся как области определения, так и области значений ряда операций ниже. Они бывают замкнутыми и нет. Основным различием является то, что замкнутые операции гарантированно оставляют результат в рамках множества N вне зависимости от того, какие числа задействованы. Достаточно того, что они натуральные. Исход остальных численных взаимодействий уже не столь однозначен и напрямую зависит от того, что за числа участвуют в выражении, так как он может противоречить основному определению. Итак, замкнутые операции:

сложение - x + y = z, где x, y, z включены в поле N;
умножение - x * y = z, где x, y, z включены в поле N;
возведение в степень - x y , где x, y включены в поле N.

Остальные операции, итог которых может не существовать в контексте определения "что такое натуральное число", следующие:

Свойства чисел, принадлежащих полю N

Все дальнейшие математические рассуждения будут основываться на следующих свойствах, самых тривиальных, но от этого не менее важных.

Переместительное свойство сложения - x + y = y + x, где числа x, y включены в поле N. Или всем известное "от перемены мест слагаемых сумма не меняется".
Переместительное свойство умножения - x * y = y * x, где числа x, y включены в поле N.
Сочетательное свойство сложения - (x + y) + z = x + (y + z), где x, y, z включены в поле N.
Сочетательное свойство умножения - (x * y) * z = x * (y * z), где числа x, y, z включены в поле N.
распределительное свойство - x (y + z) = x * y + x * z, где числа x, y, z включены в поле N.

Таблица Пифагора

Одним из первых шагов в познании школьниками всей структуры элементарной математики после того, как они уяснили для себя, какие числа называются натуральными, является таблица Пифагора. Ее можно рассматривать не только с точки зрения науки, но и как ценнейший научный памятник.

Данная таблица умножения претерпела с течением времени ряд изменений: из нее убрали ноль, а числа от 1 до 10 обозначают сами себя, без учета порядков (сотни, тысячи...). Она представляет собой таблицу, в которой заглавия строк и столбцов - числа, а содержимое ячеек их пересечения равно их же произведению.

В практике обучения последних десятилетий наблюдалась необходимость заучивания таблицы Пифагора "по порядку", то есть сначала шло зазубривание. Умножение на 1 исключалось, так как результат был равен 1 или большему множителю. Между тем в таблице невооруженным взглядом можно заметить закономерность: произведение чисел растет на один шаг, который равен заглавию строки. Таким образом, второй множитель показывает нам, сколько раз нужно взять первый, дабы получить искомое произведение. Данная система не в пример удобнее той, что практиковалась в средние века: даже понимая, что такое натуральное число и насколько оно тривиально, люди умудрялись осложнять себе повседневный счет, пользуясь системой, которая базировалась на степенях двойки.

Подмножество как колыбель математики

На данный момент поле натуральных чисел N рассматривается лишь как одно из подмножеств комплексных чисел, но это не делает их менее ценными в науке. Натуральное число - первое, что познает ребенок, изучая себя и окружающий мир. Раз пальчик, два пальчик... Благодаря ему у человека формируется логическое мышление, а также умение определять причину и выводить следствие, подготавливая почву для больших открытий.

Натуральные числа и их свойства

Для счёта предметов в жизни используют натуральные числа. В записи любого натурального числа используются цифры $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Последовательность натуральных чисел, каждое следующее число в котором на $1$ больше предыдущего, образует натуральный ряд , который начинается с единицы (т.к. единица- самое маленькое натуральное число) и не имеет наибольшего значения, т.е. бесконечен.

Нуль не относят к натуральным числам.

Свойства отношения следования

Все свойства натуральных чисел и операций над ними следуют из четырех свойств отношений следования, которые были сформулированы в $1891$ г. Д.Пеано:

Единица- натуральное число, которое не следует ни за каким натуральным числом.

За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

Каждое натуральное число, отличное от $1$, следует за одним и только одним натуральным числом

Подмножество натуральных чисел, содержащее число $1$, а вместе с каждым числом и следующее за ним число, содержит все натуральные числа.

Если запись натурального числа состоит из одной цифры его называют однозначным (например, $2,6.9$ и т.д.), если запись состоит из двух цифр-двузначным(например,$12,18,45$) и т.д. по аналогии. Двузначные, трехзначные, четырехзначные и т.д. числа называют в математике многозначными.

Свойство сложения натуральных чисел

Переместительное свойство: $a+b=b+a$

Сумма не изменяется при перестановке слагаемых

Сочетательное свойство: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом, к полученной сумме- второе слагаемое

От прибавления нуля число не измениться и если прибавить к нулю какое- нибудь число, то получится прибавленное число.

Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа $a-(b+c) =a-b-c$ если $b+c ≤ a$

Для того, чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала вычесть из этого числа первое слагаемое, а затем из полученной разности- второе слагаемое

Свойство вычитания числа из суммы $(a+b) -c=a+(b-c)$, если $c ≤ b$

Чтобы из суммы вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого, а к полученной разности прибавить другое слагаемое

Если из числа вычесть нуль, то число не изменится

Если из числа вычесть его само, то получится нуль

Свойства умножения

Переместительное $a\cdot b=b\cdot a$

Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей

Сочетательное $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Чтобы умножить число на произведение двух чисел,можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель

При умножении на единицу произведение не изменяется $m\cdot 1=m$

При умножении на нуль произведение равно нулю

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо

Свойства умножения относительно сложения и вычитания

Распределительное свойство умножения относительно сложения

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Для того чтобы умножить сумму на число,можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения

Например, $5(x+y)=5x+5y$

Распределительное свойство умножение относительно вычитания

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Для того,чтобы умножить разность на число,множно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе

Например, $5(x-y)=5x-5y$

Сравнение натуральных чисел

Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ может выполняться только одно из трех соотношений $a=b$, $a

Меньшим считается число, которое в натуральном ряду появляется раньше, а большим, которое появляется позже. Нуль меньше любого натурального числа.

Пример 1

Сравнить числа $a$ и $555$, если известно, что существует некоторое число $b$, причем выполняются соотношения: $a

Решение : На основании указанного свойства,т.к. по условию $a

в любом подмножестве натуральных чисел, содержащем хотя бы одно число, есть наименьшее число

Подмножеством в математике называют часть множества. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества

Часто для сравнения чисел находят их разность и сравнивают ее с нулем. Если разность больше $0$, но первое число больше второго, если разность меньше $0$, то первое число меньше второго.

Округление натуральных чисел

Когда полная точность не нужна, или не возможна,числа округляют,т.е заменяют их близкими числами с нулями на конце.

Натуральные числа округляют до десятков, сотен,тысяч и т.д

При округлеии числа до десятков его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых десятков; у такого числа в разряде единиц стоит цифра $0$

При округлеии числа до сотен его заменяют ближайшим числом,состоящим из целых сотен; у такого числа в разряде десятков и единиц должна стоять цифра $0$. И т.д

Числа,до которых округляют данное называют приближенным значением числа с точностью до указанных разрядов.Например если округлять число $564$ до десятков то получим, что округлить его можно с недостатком и получить $560$, или с избытком и получить $570$.

Правило округления натуральных чисел

Если справа от разряда, до которого округляют число, стоит цифра $5$ или цифра,большая $5$, то к цифре этого разряда прибавляют $1$; в противном случае эту цифру оставляют без изменения

Все цифры, расположенные правее разряда, до которого округляют число,заменяют нулями

В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория "Ахиллес и черепаха". Вот как она звучит:

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Натуральные числа являются привычными человеку и интуитивно понятными, ведь они окружают нас с самого детства. В статье ниже мы дадим базовое представление о смысле натуральных чисел, опишем основные навыки их записи и чтения. Вся теоретическая часть будет сопровождаться примерами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Общее представление о натуральных числах

На определенном этапе развития человечества возникла задача подсчета неких предметов и обозначение их количества, что, в свою очередь, потребовало нахождения инструмента для решения этой задачи. Таким инструментом и стали натуральные числа. Понятно и основное предназначение натуральных чисел – давать представление о количестве предметов или порядковом номере конкретного предмета, если речь идет о множестве.

Логично, что для использования человеком натуральных чисел, необходимо иметь способ их воспринимать и воспроизводить. Так, натуральное число можно озвучить или изобразить, что является естественными способами передачи информации.

Рассмотрим базовые навыки озвучивания (чтения) и изображения (записи) натуральных чисел.

Десятичная запись натурального числа

Вспомним, как изображаются следующие знаки (укажем их через запятую): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Указанные знаки мы называем цифрами.

Теперь возьмем как правило, что при изображении (записи) любого натурального числа используются только указанные цифры без участия любых других символов. Пусть цифры при записи натурального числа имеют одинаковую высоту, записываются одна за другой в строчку и слева всегда находится цифра, отличная от нуля.

Укажем примеры правильной записи натуральных чисел: 703 , 881 , 13 , 333 , 1 023 , 7 , 500 001 . Отступы между цифрами не всегда одинаковы, об этом подробнее будет сказано ниже при изучении классов чисел. Заданные примеры показывают, что при записи натурального числа не обязательно должны присутствовать все цифры из указанного выше ряда. Некоторые из них или все могут повторяться.

Определение 1

Записи вида: 065 , 0 , 003 , 0791 не являются записями натуральных чисел, т.к. слева располагается цифра 0 .

Верная запись натурального числа, произведенная с учетом всех описанных требований, называется десятичной записью натурального числа .

Количественный смысл натуральных чисел

Как уже было сказано, натуральные числа изначально несут в себе, в том числе, количественный смысл. Натуральные числа, как инструмент нумерации, рассмотрены в теме о сравнении натуральных чисел.

Приступим к натуральным числам, записи которых совпадают с записями цифр, т.е.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Представим некий предмет, например, такой: Ψ . Можно записать, что мы видим 1 предмет. Натуральное число 1 читается как «один» или «единица». Термин «единица» имеет также и другое значение: нечто, что можно рассматривать как единое целое. Если есть множество, то любой элемент его можно будет обозначить единицей. К примеру, из множества мышей любая мышь – единица; любой цветок из множества цветов – единица.

Теперь представим: Ψ Ψ . Мы видим один предмет и еще один предмет, т.е. в записи это будет - 2 предмета. Натуральное число 2 читаем как «два».

Далее, по аналогии: Ψ Ψ Ψ – 3 предмета («три»), Ψ Ψ Ψ Ψ – 4 («четыре»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 5 («пять»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 6 («шесть»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 7 («семь»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 8 («восемь»), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ – 9 («девять»).

С указанной позиции функция натурального числа заключается в указании количества предметов.

Определение 1

Если запись числа совпадает с записью цифры 0 , то такое число называют «нуль». Нуль - не натуральное число, но рассматривают его вместе с прочими натуральными числами. Нуль обозначает отсутствие, т.е. нуль предметов означает – ни одного.

Однозначные натуральные числа

Очевидный факт, что, записывая каждое из натуральных чисел, о которых выше велась речь (1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9) , мы используем один знак – одну цифру.

Определение 2

Однозначное натуральное число – натуральное число, при записи которого используется один знак – одна цифра.

Однозначных натуральных чисел девять: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Двузначные и трехзначные натуральные числа

Определение 3

Двузначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два знака – две цифры. При этом используемые цифры могут быть как одинаковые, так и различные.

Например, натуральные числа 71 , 64 , 11 – двузначные.

Рассмотрим, какой смысл заключен в двузначных числах. Опираться будем на уже известный нам количественный смысл однозначных натуральных чисел.

Введем такое понятие как «десяток».

Представим множество предметов, которое состоит из девяти и еще одного. В таком случае можно говорить об 1 десятке («один десяток») предметов. Если представить один десяток и еще один, то речь пойдёт о 2 десятках («два десятка»). Прибавив к двум десяткам еще один, получим три десятка. И так далее: продолжая добавлять по одному десятку, мы будем получать четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков и, наконец, девять десятков.

Посмотрим на двузначное число, как на набор однозначных чисел, одно из которых записывается справа, другое – слева. Число слева будет обозначать количество десятков в составе натурального числа, а число справа – количество единиц. В случае, когда справа расположена цифра 0 , то мы говорим об отсутствии единиц. В вышеуказанном и заключается количественный смысл натуральных двузначных чисел. Всего их - 90 .

Определение 4

Трехзначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются три знака – три цифры. Цифры могут быть различными или повторяющимися в любом сочетании.

Например, 413 , 222 , 818 , 750 – трехзначные натуральные числа.

Чтобы понять количественный смысл трехзначных натуральных чисел, введем понятие «сотня».

Определение 5

Одна сотня (1 сотня) – это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня составят 2 сотни. Прибавим еще одну сотню и получим 3 сотни. Добавляя постепенно по одной сотне, получим: четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, девять сотен.

Рассмотрим саму запись трехзначного числа: входящие в него однозначные натуральные числа записываются одно за другим слева направо. Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц; следующее однозначное число левее – на количество десятков; крайнее левое однозначное число – на количество сотен. Если в записи участвует цифра 0 , она показывает на отсутствие единиц и/или десятков.

Так, трехзначное натуральное число 402 обозначает: 2 единицы, 0 десятков (отсутствуют десятки, не объединенные в сотни) и 4 сотни.

По аналогии дается определение четырёхзначных, пятизначных и так далее натуральных чисел.

Многозначные натуральные числа

От всего вышесказанного теперь возможно перейти к определению многозначных натуральных чисел.

Определение 6

Многозначные натуральные числа – натуральные числа, при записи которых используются два и более знаков. Многозначные натуральные числа – это двухзначные, трехзначные и так далее числа.

Одна тысяча – множество, включающее в себя десять сотен; один миллион состоит из тысячи тысяч; один миллиард – тысяча миллионов; один триллион – тысяча миллиардов. Еще более крупные множества также имеют названия, но использование их редко.

Аналогично принципу выше, мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число, как набор однозначных натуральных чисел, каждое из которых, находясь на определенном месте, свидетельствует о наличии и количестве единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч, миллионов, десятков миллионов, сотен миллионов, миллиардов и так далее (справа налево соответственно).

Например, многозначное число 4 912 305 содержит в себе: 5 единиц, 0 десятков, три сотни, 2 тысячи, 1 десяток тысяч, 9 сотен тысяч и 4 миллиона.

Резюмируя, мы рассмотрели навык группировки единиц в различные множества (десятки, сотни и т.д.) и увидели, что цифры в записи многозначного натурального числа являются обозначением количества единиц в каждом из таких множеств.

Чтение натуральных чисел, классы

В теории выше мы обозначили названия натуральных чисел. В таблице 1 укажем, как верно использовать названия однозначных натуральных чисел в речи и при буквенной записи:

Число	Мужской род	Женский род	Средний род
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь Девять	Одна Две Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь Девять	Одно Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь Девять

Число	Именительнный падеж	Родительный падеж	Дательный падеж	Винительный падеж	Творительный падеж	Предложный падеж
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь Девять	Одного Двух Трех Четырех Пяти Шести Семи Восьми Девяти	Одному Двум Трем Четырем Пяти Шести Семи Восьми Девяти	Один Два Три Четыре Пять Шесть Семь Восемь Девять	Одним Двумя Тремя Четырьмя Пятью Шестью Семью Восьмью Девятью	Об одном О двух О трех О четырех О пять О шести О семи О восьми О девяти

Для грамотного прочтения и написания двузначных чисел, необходимо выучить данные таблицы 2:

Число	Мужской, женский и средний род
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Десять Одиннадцать Двенадцать Тринадцать Четырнадцать Пятнадцать Шестнадцать Семнадцать Восемнадцать Девятнадцать Двадцать Тридцать Сорок Пятьдесят Шестьдесят Семьдесят Восемьдесят Девяносто

Число	Именительнный падеж	Родительный падеж	Дательный падеж	Винительный падеж	Творительный падеж	Предложный падеж
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Десять Одиннадцать Двенадцать Тринадцать Четырнадцать Пятнадцать Шестнадцать Семнадцать Восемнадцать Девятнадцать Двадцать Тридцать Сорок Пятьдесят Шестьдесят Семьдесят Восемьдесят Девяносто	Десяти Одиннадцати Двенадцати Тринадцати Четырнадцати Пятнадцати Шестнадцати Семнадцати Восемнадцати Девятнадцати Двадцати Тридцати Сорока Пятидесяти Шестидесяти Семидесяти Восьмидесяти Девяноста	Десяти Одиннадцати Двенадцати Тринадцати Четырнадцати Пятнадцати Шестнадцати Семнадцати Восемнадцати Девятнадцати Двадцати Тридцати Сорока Пятидесяти Шестидесяти Семидесяти Восьмидесяти Девяноста	Десять Одиннадцать Двенадцать Тринадцать Четырнадцать Пятнадцать Шестнадцать Семнадцать Восемнадцать Девятнадцать Двадцать Тридцать Сорок Пятьдесят Шестьдесят Семьдесят Восемьдесят Девяносто	Десятью Одиннадцатью Двенадцатью Тринадцатью Четырнадцатью Пятнадцатью Шестнадцатью Семнадцатью Восемнадцатью Девятнадцатью Двадцатью Тридцатью Сорока Пятидесятью Шестидесятью Семидесятью Восьмидесятью Девяностью	О десяти Об одиннадцати О двенадцати О тринадцати О четырнадцати О пятнадцати О шестнадцати О семнадцати О восемнадцати О девятнадцати О двадцати О тридцати О сорока О пятидесяти О шестидесяти О семидесяти О восьмидесяти О девяноста

Для чтения прочих натуральных двузначных чисел будем использовать данные обеих таблиц, рассмотрим это на примере. Допустим, нам необходимо прочитать натуральное двузначное число 21 . Это число содержит в себе 1 единицу и 2 десятка, т.е. 20 и 1 . Обратившись к таблицам, прочтем указанное число как «двадцать один», при этом союз «и» между словами произносить не нужно. Допустим, нам необходимо использовать указанное число 21 в некотором предложении, указывая на количество предметов в родительном падеже: «нет 21 яблока». Звучать в данном случае произношение будет следующим образом: «нет двадцати одного яблока».

Приведем для наглядности еще пример: число 76 , которое прочтется как «семьдесят шесть» и, к примеру – «семьюдесятью шестью тоннами».

Число	Именительный падеж	Родительный падеж	Дательный падеж	Винительный падеж	Творительный падеж	Предложный падеж
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Сто Двести Триста Четыреста Пятьсот Шестьсот Семьсот Восемьсот Девятьсот	Ста Двухсот Трехсот Четырехсот Пятисот Шестисот Семисот Восьмисот Девятисот	Ста Двумстам Тремстам Четыремстам Пятистам Шестистам Семистам Восьмистам Девятистам	Сто Двести Триста Четыреста Пятьсот Шестьсот Семьсот Восемьсот Девятьсот	Ста Двумстами Тремстами Четыремстами Пятистами Шестистами Семистами Восьмистами Девятистами	О ста О двухстах О трехстах О четырехстах О пятистах О шестистах О семистах О восьмистах О девятистах

Чтобы полностью прочитать трехзначное число, также используем данные всех указанных таблиц. Например, дано натуральное число 305 . Данному числу соответствует 5 единиц, 0 десятков и 3 сотни: 300 и 5 . Взяв за основу таблицы, прочитаем: «триста пять» или в склонении по падежам, к примеру, так: «тремстам пяти метрам».

Прочтем еще одно число: 543 . Согласно правилам таблиц, звучать указанное число будет так: «пятьсот сорок три» или в склонении по падежам, к примеру, так: «нет пятисот сорока трех рублей».

Перейдем к общему принципу чтения многозначных натуральных чисел: чтобы прочесть многозначное число, необходимо разбить его справа налево в группы по три цифры, причем в крайней левой группе может быть 1 , 2 или 3 цифры. Такие группы называют классами.

Крайний правый класс – класс единиц; затем следующий класс, левее – класс тысяч; далее – класс миллионов; потом следует класс миллиардов, за ним - класс триллионов. Следующие классы также имеют название, но натуральные числа, состоящие из большого количества знаков (16 , 17 и более) редко используются на чтении, воспринимать их на слух довольно тяжело.

Для удобства восприятия записи классы отделяют друг от друга небольшим отступом. Например, 31 013 736 , 134 678 , 23 476 009 434 , 2 533 467 001 222 .

Класс триллионов	Класс миллиардов	Класс миллионов	Класс тысяч	Класс единиц
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Для прочтения многозначного числа называем по очереди числа, которые его составляют (слева направо по классам, добавляя название класса). Название класса единиц не произносится, а также не произносятся те классы, которые составляют три цифры 0 . Если в составе одного класса слева присутствуют одна или две цифры 0 , то они при прочтении не используются никак. К примеру, 054 прочтется как «пятьдесят четыре» или 001 – как «один».

Пример 1

Разберем подробно чтение числа 2 533 467 001 222:

Читаем число 2 , как составляющую класса триллионов – «два»;

Добавив название класса, получим: «два триллиона»;

Читаем следующее число, добавив название соответствующего класса: «пятьсот тридцать три миллиарда»;

Продолжаем по аналогии, зачитывая следующий класс правее: «четыреста шестьдесят семь миллионов»;

В следующем классе видим две цифры 0 , расположенные слева. Согласно вышеуказанным правилам чтения, цифры 0 отбрасываются и не участвуют в чтении записи. Тогда получим: «одна тысяча»;

Читаем последний класс единиц, не добавляя его название – «двести двадцать два».

Таким образом, число 2 533 467 001 222 будет звучать так: два триллиона пятьсот тридцать три миллиарда четыреста шестьдесят семь миллионов одна тысяча двести двадцать два. Используя указанный принцип, прочтем и прочие заданные числа:

31 013 736 – тридцать один миллион тринадцать тысяч семьсот тридцать шесть;

134 678 – сто тридцать четыре тысячи шестьсот семьдесят восемь;

23 476 009 434 – двадцать три миллиарда четыреста семьдесят шесть миллионов девять тысяч четыреста тридцать четыре.

Таким образом, основой правильного прочтения многозначных чисел является навык разбивать многозначное число на классы, знание соответствующих названий и понимание принципа прочтения двух- и трехзначных чисел.

Как уже становится понятно из всего вышесказанного, от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Т.е., например, цифра 3 в составе натурального числа 314 обозначает количество сотен, а именно – 3 сотни. Цифра 2 – количество десятков (1 десяток), а цифра 4 – количество единиц (4 единицы). При этом мы будем говорить, что цифра 4 находится в разряде единиц и является значением разряда единиц в заданном числе. Цифра 1 стоит в разряде десятков и служит значением разряда десятков. Цифра 3 располагается в разряде сотен и является значением разряда сотен.

Определение 7

Разряд – это позиция цифры в записи натурального числа, а также и значение этой цифры, которое определяется ее позицией в заданном числе.

Разряды имеют свои названия, мы уже использовали их выше. Справа налево следуют разряды: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч и т.д.

Для удобства запоминания можно использовать следующую таблицу (укажем 15 разрядов):

Уточним такую деталь: количество разрядов в заданном многозначном числе такое же, как количество знаков в составе записи числа. К примеру, данная таблица содержит названия всех разрядов для числа, в котором 15 знаков. Последующие разряды также имеют названия, но используются крайне редко и очень неудобны для восприятия на слух.

При помощи такой таблицы возможно наработать навык определения разряда, записывая заданное натуральное число в таблицу так, чтобы крайняя правая цифра была записана в разряде единиц и далее – в каждый разряд по цифре. К примеру, запишем многозначное натуральное число 56 402 513 674 так:

Обратите внимание на цифру 0 , находящуюся в разряде десятков миллионов – она означает отсутствие единиц данного разряда.

Введем также еще понятия низшего и высшего разрядов многозначного числа.

Определение 8

Низший (младший) разряд любого многозначного натурального числа – разряд единиц.

Высший (старший) разряд любого многозначного натурального числа – разряд, соответствующий крайней левой цифре в записи заданного числа.

Так, например, в числе 41 781: низший разряд – разряд единиц; высший разряд – разряд десятков тысяч.

Логически следует, что возможно говорить о старшинстве разрядов относительно друг друга. Каждый последующий разряд при движении слева направо ниже (младше) предыдущего. И наоборот: при движении справа налево каждый следующий разряд выше (старше) предыдущего. К примеру, разряд тысяч старше разряда сотен, но младше разряда миллионов.

Уточним, что при решении некоторых практических примеров используется не само натуральное число, а сумма разрядных слагаемых заданного числа.

Кратко о десятичной системе счисления

Определение 9

Система счисления – метод записи чисел при помощи знаков.

Позиционные системы счисления – такие, в которых значение цифры в составе числа зависит от ее позиции в записи числа.

Согласно данному определению, можно говорить о том, что, изучая выше натуральные числа и способ их записи, мы пользовались позиционной системой счисления. Особое место здесь играет число 10 . Счет мы ведем десятками: десять единиц составляют десяток, десяток десятков объединится в сотню и т.д. Число 10 служит основанием этой системы счисления, и саму систему также называют десятичной.

Помимо нее, существуют и прочие системы счисления. Например, информатика использует двоичную систему. Когда же мы ведем счет времени, то задействуем шестидесятеричную систему счисления.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.)

Натура́льные чи́сла (от лат. naturalis - естественный; естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом .

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

подсчёте (нумерации) предметов (первый , второй , третий , четвёртый , пятый"…);
натуральные числа - числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов , 1 предмет , 2 предмета , 3 предмета , 4 предмета , 5 предметов"…).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором - с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли нуль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа к натуральным не относятся.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N {\displaystyle \mathbb {N} } (от лат. naturalis - естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа n {\displaystyle n} найдётся натуральное число, большее чем n {\displaystyle n} .

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда , включающего нуль. Расширенный ряд обозначается N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} или Z 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{0}} .

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чисел

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Основная статья: Аксиомы Пеано

Множество N {\displaystyle \mathbb {N} } будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), принадлежащий N {\displaystyle \mathbb {N} } (1 ∈ N {\displaystyle 1\in \mathbb {N} }), и функция S {\displaystyle S} c областью определения N {\displaystyle \mathbb {N} } и областью значений N {\displaystyle \mathbb {N} } (называемая функцией следования; S: N → N {\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }) так, что выполнены следующие условия:

единица является натуральным числом (1 ∈ N {\displaystyle 1\in \mathbb {N} });
число, следующее за натуральным, также является натуральным (если x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } , то S (x) ∈ N {\displaystyle S(x)\in \mathbb {N} });
единица не следует ни за каким натуральным числом (∄ x ∈ N (S (x) = 1) {\displaystyle \nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)});
если натуральное число a {\displaystyle a} непосредственно следует как за натуральным числом b {\displaystyle b} , так и за натуральным числом c {\displaystyle c} , то b = c {\displaystyle b=c} (если S (b) = a {\displaystyle S(b)=a} и S (c) = a {\displaystyle S(c)=a} , то b = c {\displaystyle b=c});
(аксиома индукции ) если какое-либо предложение (высказывание) P {\displaystyle P} доказано для натурального числа n = 1 {\displaystyle n=1} (база индукции ) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа n {\displaystyle n} , вытекает, что оно верно для следующего за n {\displaystyle n} натурального числа (индукционное предположение ), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть P (n) {\displaystyle P(n)} - некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число n {\displaystyle n} . Тогда, если P (1) {\displaystyle P(1)} и ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) {\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))} , то ∀ n P (n) {\displaystyle \forall n\;P(n)}).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см., а также краткое доказательство), что если (N , 1 , S) {\displaystyle (\mathbb {N} ,1,S)} и (N ~ , 1 ~ , S ~) {\displaystyle ({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})} - две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) f: N → N ~ {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}} такая, что f (1) = 1 ~ {\displaystyle f(1)={\tilde {1}}} и f (S (x)) = S ~ (f (x)) {\displaystyle f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))} для всех x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве N {\displaystyle \mathbb {N} } какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге - Рассела)

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

S (n) = n ∪ { n } {\displaystyle S(n)=n\cup \left\{n\right\}} .

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

0 = ∅ {\displaystyle 0=\varnothing } ;
1 = { 0 } = { ∅ } {\displaystyle 1=\left\{0\right\}=\left\{\varnothing \right\}} ;
2 = { 0 , 1 } = { ∅ , { ∅ } } {\displaystyle 2=\left\{0,1\right\}={\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}} ;
3 = { 0 , 1 , 2 } = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } {\displaystyle 3=\left\{0,1,2\right\}={\Big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}{\Big \}}} .

Нуль как натуральное число

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на нуль. В этом случае нуль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств нуль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать нуль натуральным числом является то, что при этом N {\displaystyle \mathbb {N} } образует моноид.

В русской литературе обычно нуль исключён из числа натуральных чисел (0 ∉ N {\displaystyle 0\notin \mathbb {N} }), а множество натуральных чисел с нулём обозначается как N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} . Если в определение натуральных чисел включен нуль, то множество натуральных чисел записывается как N {\displaystyle \mathbb {N} } , а без нуля - как N ∗ {\displaystyle \mathbb {N} ^{*}} .

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество { 1 , 2 , … } {\displaystyle \{1,2,\dots \}} обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают Z + {\displaystyle \mathbb {Z} _{+}} . Множество { 0 , 1 , … } {\displaystyle \{0,1,\dots \}} зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают Z ⩾ 0 {\displaystyle \mathbb {Z} _{\geqslant 0}} .

Положение множества натуральных чисел (N {\displaystyle \mathbb {N} }) среди множеств целых чисел (Z {\displaystyle \mathbb {Z} }), рациональных чисел (Q {\displaystyle \mathbb {Q} }), действительных чисел (R {\displaystyle \mathbb {R} }) и иррациональных чисел (R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} })

Величина множества натуральных чисел

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества», которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала (0 , 1) {\displaystyle (0,1)} . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) {\displaystyle \mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{k}\right)}).

Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

сложение : слагаемое + слагаемое = сумма;
умножение : множитель × множитель = произведение;
возведение в степень : a b {\displaystyle a^{b}} , где a {\displaystyle a} - основание степени, b {\displaystyle b} - показатель степени. Если a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} - натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

вычитание : уменьшаемое - вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом);
деление с остатком : делимое / делитель = (частное, остаток). Частное p {\displaystyle p} и остаток r {\displaystyle r} от деления a {\displaystyle a} на b {\displaystyle b} определяются так: a = p ⋅ b + r {\displaystyle a=p\cdot b+r} , причём 0 ⩽ r b {\displaystyle 0\leqslant r можно представить в виде a = p ⋅ 0 + a {\displaystyle a=p\cdot 0+a} , то есть можно было бы считать частным любое число, а остатком a {\displaystyle a} .

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойства

Коммутативность сложения:

a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} .

Коммутативность умножения:

a ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a} .

Ассоциативность сложения:

(a + b) + c = a + (b + c) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} .

Ассоциативность умножения:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) {\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)} .

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

{ a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a {\displaystyle {\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{cases}}} .

Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0 . Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1 . С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел Z {\displaystyle \mathbb {Z} } и рациональных положительных чисел Q + ∗ {\displaystyle \mathbb {Q} _{+}^{*}} соответственно.

Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A , порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A ], основные арифметические операции определятся следующим образом:

[ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] {\displaystyle [A]+[B]=} ;
[ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] {\displaystyle [A]\cdot [B]=} ;
[ A ] [ B ] = [ A B ] {\displaystyle {[A]}^{[B]}=} ,

A ⊔ B {\displaystyle A\sqcup B} - дизъюнктное объединение множеств;
A × B {\displaystyle A\times B} - прямое произведение;
A B {\displaystyle A^{B}} - множество отображений из B в A .

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

Что такое натуральное число? История, область применения, свойства

Математика выделилась из общей философии примерно в шестом веке до н. э., и с этого момента началось ее победное шествие по миру. Каждый этап развития вносил что-то новое – элементарный счет эволюционировал, преображался в дифференциальное и интегральное исчисление, сменялись века, формулы становились все запутаннее, и настал тот момент, когда «началась самая сложная математика – из нее исчезли все числа». Но что же лежало в основе?

Начало начал

Натуральные числа появились наравне с первыми математическими операциями. Раз корешок, два корешок, три корешок… Появились они благодаря индийским ученым, которые вывели первую позиционную систему счисления.
Слово «позиционность» означает, что расположение каждой цифры в числе строго определено и соответствует своему разряду. Например, числа 784 и 487 - цифры одни и те же, но числа не являются равносильными, так как первое включает в себя 7 сотен, тогда как второе – только 4. Нововведение индийцев подхватили арабы, которые довели числа до того вида, который мы знаем сейчас.

В древности числам придавалось мистическое значение, величайший математик Пифагор полагал, что число лежит в основе сотворения мира наравне с основными стихиями – огнем, водой, землей, воздухом. Если рассматривать все лишь с математической стороны, то что такое натуральное число? Поле натуральных чисел обозначается как N и представляет собой бесконечный ряд из чисел, которые являются целыми и положительными: 1, 2, 3, … + ∞. Ноль исключается. Используется в основном для подсчета предметов и указания порядка.

Что такое натуральное число в математике? Аксиомы Пеано

Поле N является базовым, на которое опирается элементарная математика. С течением времени выделяли поля целых, рациональных, комплексных чисел.

Работы итальянского математика Джузеппе Пеано сделали возможной дальнейшую структуризацию арифметики, добились ее формальности и подготовили почву для дальнейших выводов, которые выходили за рамки области поля N. Что такое натуральное число, было выяснено ранее простым языком, ниже будет рассмотрено математическое определение на базе аксиом Пеано.

Единица считается натуральным числом.
Число, которое идет за натуральным числом, является натуральным.
Перед единицей нет никакого натурального числа.
Если число b следует как за числом c, так и за числом d, то c=d.
Аксиома индукции, которая в свою очередь показывает, что такое натуральное число: если некоторое утверждение, которое зависит от параметра, верно для числа 1, то положим, что оно работает и для числа n из поля натуральных чисел N. Тогда утверждение верно и для n=1 из поля натуральных чисел N.

Основные операции для поля натуральных чисел

сложение – x + y = z, где x, y, z включены в поле N;
умножение – x * y = z, где x, y, z включены в поле N;
возведение в степень – xy, где x, y включены в поле N.

Свойства чисел, принадлежащих полю N

Переместительное свойство сложения – x + y = y + x, где числа x, y включены в поле N. Или всем известное "от перемены мест слагаемых сумма не меняется".
Переместительное свойство умножения – x * y = y * x, где числа x, y включены в поле N.
Сочетательное свойство сложения – (x + y) + z = x + (y + z), где x, y, z включены в поле N.
Сочетательное свойство умножения – (x * y) * z = x * (y * z), где числа x, y, z включены в поле N.
распределительное свойство – x (y + z) = x * y + x * z, где числа x, y, z включены в поле N.

Таблица Пифагора

Подмножество как колыбель математики

Обсуждение:Натуральное число

Споры вокруг нуля

Что то никак я не могу представить себе ноль натуральным числом… Кажется древние вообще нуля не знали. Да и БСЭ не считает ноль натуральным числом. Так что по крайней мере это спорное утверждение. Может как-то более нейтральней про ноль сказать? Или есть веские аргументы? --.:Ajvol:. 18:18, 9 Сен 2004 (UTC)

Откатил последнее изменение. --Maxal 20:24, 9 Сен 2004 (UTC)

Французкая академия издала в своё время специальный указ по которому 0 включался в множество натуральных чисел. Сейчас это стандарт, по-моему не нужно вводить понятие «русского натурального числа», а придерживаться этого стандата. естественно надо упомянуть что когда-то это было не так (не только в России но и везде). Tosha 23:16, 9 Сен 2004 (UTC)

Французская академия нам не указ. В англоязычной математической литературе тоже нет устоявшегося мнения на этот счет. См. например, --Maxal 23:58, 9 Сен 2004 (UTC)

Где-то вон там написано: " Если пишете статью о спорном вопросе, то постарайтесь представить все точки зрения, дав ссылки на разные мнения.". Bes island 23:15, 25 Дек 2004 (UTC)

Не вижу тут спорного вопроса, а вижу: 1) неуважение к другим участникам путем значительного изменения/удаления их текста (перед внесением сущесвенных изменений принято их обсуждать); 2) замена строгих определений (указание на мощности множеств) на невнятные (велика ли разница между "нумерованием" и "обозначением количества"?). Поэтому повторно делаю откат, впрочем оставляю посленее замечание. --Maxal 23:38, 25 Дек 2004 (UTC)

Неуважение - это как раз то, как я расцениваю Ваши откаты. Так что не будем об этом. Моя правка не меняет сути статьи, она всего лишь чётко формулирует два определения. Предыдущая же версия статьи формулировала определение "без нуля" как основное, а "с нулём" - как некое диссиденство. Это абсолютно не отвечает требованиям Википедии (см. цитату выше), как, впрочем, и не вполне научный стиль изложения в предыдущей версии. Я добавил формулировку "мощность множества" как пояснение к "обозначению количества" и "перечисление" - к "нумерованию". А если Вы не видите разницы между "нумерованием" и "обозначением количества", то, позвольте спросить, отчего тогда Вы правите математические статьи? Bes island 23:58, 25 Дек 2004 (UTC)

Насчет "не меняет сути" - предыдущая версия подчеркивала, что отличие в определениях всего лишь в отнесении нуля к натуральным числам. В Вашей версии определения преподносятся как кардинально различные. Насчет "основного" определения, то так и должно быть, ибо эта статья в русской википедии, а значит в основном надо придерживаться того, что по Вашим же словам общепринято в русских математических школах . Наезды игнорирую. --Maxal 00:15, 26 Дек 2004 (UTC)

Вообще-то это только налицо отличие всего лишь в нуле. На самом деле это именно кардинальное различие, исходящее из различного понимания природы натуральных чисел: в одной версии - как количества; в другой - как номера. Это абсолютно разные понятия, как бы ни пытались Вы скрыть, что не понимаете этого.

Насчёт того, что в русской википедии требуется приводить русскую точку зрения как главенствующую. Посмотрите внимательно вот сюда. Посмотрите на английскую статью о Рождестве. Там не пишется, что Рождество надо праздновать 25 декабря, потому что так празднуют в Англии и США. Там приведены обе точки зрения (а они отличаются не более и не менее, чем отличаются натуральные числа "с нулём" и "без нуля"), и ни единого слова о том, какая из них якобы вернее.

В моём варианте статьи обозначены обе точки зрения как независимые и одинаково имеющие право на существование. Русский стандарт обозначен прореферированными Вами выше словами.

Возможно, с философской точки зрения понятия натуральных чисел действительно абсолютно разные, но статья предлагает математические по сути определения, где все разница в 0 ∈ N {\displaystyle 0\in \mathbb {N} } или 0 ∉ N {\displaystyle 0\not \in \mathbb {N} } . Главенствующая точка зрения или нет - дело тонкое. Я расцениваю фразу observed in most of the Western world on December 25 из английскую статью о Рождестве как выражение главенствующей точки зрения, при том что в первом параграфе никаких других дат не приведено. Кстати, в предыдущей версии статьи о натуральных числах также не было прямых указаний как надо определять натуральные числа, просто определение без нуля преподносилось как более распространённое (в России). В любом случае хорошо, что компромисс найден. --Maxal 00:53, 26 Дек 2004 (UTC)

Как то неприятно удивляет выражение "В русской литературе обычно нуль исключён из числа натуральных чисел", господа ноль не считается натуральным числом, если не оговорено иначе, во всем мире. Те же французы, насколько я их читал, оговаривают включение нуля особо. Конечно N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} находит применение чаще, но если, например, мне нравятся женщины я же не стану переделывать мужчин в женщин. Druid. 2014-02-23

Непопулярность натуральных чисел

Мне кажется, что натуральные числа являются непопулярным объектом в математических статьях (возможно, не в последнюю очередь из-за отсутствия единого определения). По своему опыту я чаще в математических статьях встречаю термины целые неотрицательные числа и целые положительные числа (которые трактуются однозначно) нежели натуральные числа . Заинтересованные стороны прошу высказать своё (не)согласие с данным наблюдением. Если это наблюдение найдёт поддержку, то имеет смысл указать его в статье. --Maxal 01:12, 26 Дек 2004 (UTC)

Без сомнения, Вы правы в резюмативной части Вашего высказывания. Это всё именно из-за расхождений в определении. Я сам в некоторых случаях предпочитаю указать «целые положительные» или «целые неотрицательные» заместо «натуральные», чтобы избежать расхождений касательно причисления нуля. И с резолятивной частью я, в общем-то, согласен. Bes island 01:19, 26 Дек 2004 (UTC) В статьях - да, пожалуй, так и есть. Однако в более объёмных текстах, а также там, где понятие используется часто, обычно используют всё же натуральные числа , предварительно, однако, поясняя, о «каких» натуральных числах идёт речь - с нулём или без него. LoKi 19:31, 30 июля 2005 (UTC)

Числа

Сто́ит ли перечислять в последней части этой статьи названия чисел (один, два, три и т.д.)? Не разумнее ли будет поместить это в статью Число? Всё-таки данная статья, по моему мнению, должна носить более математический характер. Как вы считаете? --LoKi 19:32, 30 июля 2005 (UTC)

Вообще странно как можно из *пустых* множеств получить обычное натуральное число? Вообще сколько пустоту с пустотой не объединяй, кроме пустоты ничего не получится! Это вообще не альтернативное определение? Написано в 21:46, 17 июля 2009 (Москва)

Категоричность системы аксиом Пеано

Добавил замечание о категоричности системы аксиом Пеано, на мой взгляд принципиальное. Прошу правильно оформить ссылку на книгу[[Участник:A_Devyatkov 06:58, 11 июня 2010 (UTC)]]

Аксиомы Пеaно

Практически во всей иностранной литературе и на Википедии аксиомы Пеано начинаются с "0 есть натуральное число". Действительно в первоисточнике написано "1 есть натуральное число". Однако, в 1897 году Пеано вносит изменения, и меняет 1 на 0. Это написано в "Formulaire de mathematiques", Tome II - №2. стр 81. Это ссылка на электронный вариант на нужной странице:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (фр).

Пояснения к этим изменениям даются в "Rivista di matematica", Volume6-7, 1899, стр 76. Также ссылка на электронный вариант на нужной странице:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (итал).

0=0

Что за "аксиомы цифровых вертушек"?

Хотелось бы откатить статью до последней патрулированной версии. Во-первых, аксиомы Пеано кто-то переименовал в аксиомы Пиано, из-за чего ссылка перестала работать. Во-вторых, некий Творогов добавил в статью очень большой кусок информации, на мой взгляд, совершенно неуместный в данной статье. Написано неэнциклопедично, кроме того, приведены результаты самого Творогова и ссылка на его же книгу. Настаиваю на том, что раздел про "аксиомы цифровых вертушек" следует удалить из данной статьи. P.s. Зачем удалили раздел про число ноль? mesyarik 14:58, 12 марта 2014 (UTC)

Тема не раскрыта, необходимо чёткое определение натуральных чисел

Пожалуйста Не пишите ересь типа "Натуральные числа (естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте. " Естественным образом в мозгу ничего не возникает. Там будет именно то что туда положишь.

А для пятилетнего как объяснить какое число является натуральным? Ведь есть люди которым надо объяснять как пятилетним. Чем натуральное отличается от обычного числа? Необходимы примеры! 1, 2, 3 - это натуральное, а 12 натуральное, а -12 ? а три четвёртых, или например 4.25 натуральное? 95.181.136.132 15:09, 6 ноября 2014 (UTC)

Натуральные числа - фундаментальное понятие, исходная абстракция. Их нельзя определить. Можно сколь угодно глубоко уйти в философию, но в конечном итоге либо придётся признать (принять на веру?) некую жёсткую метафизическую установку, либо признать, что абсолютного определения нет, натуральные числа - часть искусственной формальной системы, модели, которую придумал человек (или Бог). Вот нашел интересный трактат на эту тему . Как Вам нравится например такой вариант: «Натуральным рядом называется всякая конкретная система Пеано, то есть модель аксиоматической теории Пеано». Полегчало? РоманСузи 17:52, 6 ноября 2014 (UTC)
- Кажется своими моделями и аксиоматическими теориями всё только усложняете. Такое определение поймут в лучшем случае двое из тысячи человек. Посему я считаю, что первому абзацу не хватает предложения "Простыми словами: натуральные числа это целые положительные числа начиная с единицы включительно." Такое определение нормально звучит для большинства. И не даёт повода сомневаться, в определении натурального числа. Ведь я действительно прочитав статью не понял до конца что такое натуральные числа и число 807423 является натуральным или натуральные это те из которых состоит это число т.е. 8 0 7 4 2 3 . Зачастую усложнения только всё портят. Инфа об натуральных числах должна быть на этой странице а не в многочисленных ссылках на другие страницы. 95.181.136.132 10:03, 7 ноября 2014 (UTC)
  - Здесь надо различать две задачи: (1) наглядно (пусть нестрого) пояснить читателю, далёкому от математики, что такое натуральное число, чтобы он более-менее правильно понял; (2) дать такое строгое определение натурального числа, из которого следуют его основные свойства. Вы правильно выступаете за первый вариант в преамбуле, но ведь именно он и приведен в статье: натуральное число - это математическая формализация счёта: один, два, три и т. д. Ваш пример (807423) безусловно может получиться при счёте, значит, это тоже натуральное число. Мне непонятно, зачем вы смешиваете число и способ его записи цифрами, это отдельная тема, прямо не связанная с определением числа. Ваш вариант пояснения: «натуральные числа это целые положительные числа начиная с единицы включительно » никуда не годится, потому что нельзя определять менее общее понятие (натуральное число) через более общее (число), ещё не определённое. Мне трудно представить читателя, который знает, что такое целое положительное число, но понятия не имеет, что такое натуральное число. LGB 12:06, 7 ноября 2014 (UTC)
    - Натуральные числа нельзя определять через целые. РоманСузи 17:01, 7 ноября 2014 (UTC)

«Естественным образом в мозгу ничего не возникает». Последние исследования показывают (ссылок сейчас не найду), что мозг человека подготовлен к использованию языка. Таким образом, естественным образом у нас уже в генах готовность к освоению языка. Ну а для натуральных чисел это и нужно. Понятие "1" можно показать рукой, а дальше - по индукции, добавлять палочки, получая 2, 3 и так далее. Или: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Но может быть у Вас есть конкретные предложения по улучшению статьи, основанные на авторитетных источниках? РоманСузи 17:57, 6 ноября 2014 (UTC)

Что такое натуральное число в математике?

Владимир з

Натуральные числа используются для нумерации объектов и для подсчета их количества. Для нумерации используются целые положительные числа, начиная с 1.

А для подсчета кол-ва сюда еще включают и 0, обозначающий отсутствие объектов.

Содержит ли понятие натуральных чисел число 0 зависит от аксиоматики. Если для изложения какой-либо математической теории требуется наличие 0 в множестве натуральных чисел, то это оговаривают и считают непреложной истиной (аксиомой) в пределах данной теории. К этому очень близко подходит определение числа 0, как положительного, так и отрицательного. Если принять за определение натуральных чисел как множества всех НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ целых чисел, то встает вопрос, каким является число 0 - положительным или отрицательным?

В практическом применении, как правило, используется первое определение, не включающее число 0.

Карандаш

Натуральные числа - это целые положительные числа. Натуральные числа применяются для подсчета (нумерации) объектов или для обозначения количества объектов или для обозначения порядкового номера объекта в перечне. Некоторые авторы искусственно включают в понятие "натуральные числа" ноль. Другие используют формулировку "натуральные числа и ноль". Это непринципиально. Множество натуральных чисел бесконечно, потому что с любым как угодно большим натуральным числом можно выполнить операцию сложения с другим натуральным числом и получить ещё бОльшее число.

Отрицательные и нецелые числа не входят в множество натуральных чисел.

Саяны

Натуральные числа - числа, которые используют для счета. Они могут быть только положительными и целыми. Что это значит на примере? Раз эти числа используют для счета, попробуем что-нибудь посчитать. Что можно посчитать? Например, людей. Мы можем считать людей так: 1 человек, 2 человека, 3 человека и т.д. Числа 1, 2, 3 и другие, используюшщиеся для счета, будут натуральными. Мы никогда не говорим -1 (минус один) человек или 1.5 (полтора) человека (извините за каламбур:), поэтому -1 и 1.5 (как и все отрицательные и дробные числа) не относятся к натуральным.

Лорелея

Натуральные числа - это те числа, которые используют при счете предметов.

Наименьшим натуральным числом является один. Часто возникает вопрос, является ли натуральным числом число ноль. Нет, не является в большинстве российских источников, а в других странах признается число ноль натуральным...

Moreljuba

Под натуральными числами в математике подразумеваются числа, используемые для последовательного счёта чего-либо или кого-либо. Самым маленьким натуральным числом принято считать единицу. Ноль в большинстве случаев не относится к разряду натуральных чисел. Отрицательные числа так же не входят сюда.

Приветствую вас славяне

Натуральные числа, они же естественные - это те числа, которые возникают обычным способом при их счёте, которые больше нуля. Последовательность каждого натурального числа, расположенного в порядке его возрастания будет называется естественным рядом.

Елена никитюк

Термин натуральное число используют в математике. Положительное целое число назвают натуральным. Наименьшее натуральное число принято считать - "0". Чтобы подсчитать что либо используют эти самые - натуральные числа, например 1,2,3... и так далее.

Натуральные числа - это числа, которыми мы производим счет, то есть исла один, два, три, четыре, пять и другие - натуральные числа.

Это обязательно положительные числа больше нуля.

Дробные числа также не относятся к множеству натуральных чисел.

-Орхидея-

Натуральные числа нужны для подсчета чего-либо. Они представляют собой ряд из только положительных чисел, начиная с одного. Важно знать, что числа эти исключительно целые. Натуральными числами можно подсчитать все что угодно.

Марлена

Натуральное число - это целые числа, которыми мы обычно пользуемся при подсчитывании каких-либо объектов. Ноль как таковой не входит в царство натуральных чисел, так как обычно мы не используем его при подсчетах.

Inara-pd

Натуральные числа -это числа,которые мы используем при счете -один,два,три и так далее.

Натуральные числа возникли из практических нужд человека.

Натуральные числа записывают с помощью десяти цифр.

Ноль -не является натуральным числом.

Что такое натуральное число?

Naumenko

Натуральными числами называются числа. употребляемые при нумерации и при счете природных (цветок. дерево. животное. птица и тп) объектов.

Целыми числами наз. числа НАТУРАЛЬНЫЕ, ИМ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ И НОЛЬ,

Объяснять. что такое натуральные через целые неверно!! !

Числа бывают четными - делящиеся на 2 нацело и нечетными - Не делящимися на 2 нацело.

Простыми числами называются числа. имеющие только 2 делителя - единицу и само себя.. .
Первое из ваших уравнений не имеет решений. для второго х=6 6 натуральное число.

Натуральные числа (естественные числа) - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) .

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком \mathbb{N}. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Анна семенченко

числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления) .
Существуют два подхода к определению натуральных чисел - числа, используемые при:
перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.
Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.